情報学部 菅沼ホーム 目次 索引

数学関係

  1. 数学関数

    　　C の標準関数，または，C++ の標準ライブラリ（ <cmath> ヘッダ）内の三角関数，逆三角関数，双曲線関数，逆双曲線関数，指数関数，対数関数，累乗，冪乗，絶対値，切り上げ，切り捨て，四捨五入，剰余，誤差関数，ガンマ関数，特殊関数に相当します．

        • 定数
        • acos ： 逆余弦
        • acosh ： 逆双曲線余弦
        • asin ： 逆正弦
        • asinh ： 逆双曲線正弦
        • atan ： 逆正接
        • atan2 ： 逆正接
        • atanh ： 逆双曲線正弦
        • ceil ： 天井関数
        • copysign ： 絶対値が x で，符号が y と同じ浮動小数点数
        • cos ： 絶対値が x で，符号が y と同じ浮動小数点数
        • cosh ： 双曲線余弦
        • degrees ： ラジアンから度に変換
        • erf ： 誤差関数
        • erfc ： 相補誤差関数
        • exp ： 指数関数
        • expm1 ： e**x - 1
        • fabs ： 絶対値
        • factorial ： 階乗
        • floor ： 床関数
        • fmod ： 余り
        • frexp ： x の仮数と指数
        • fsum ： 和
        • gamma ： ガンマ関数
        • gcd ： 最大公約数
        • hypot ： 原点からの距離
        • isclose ： 近傍か？
        • isfinite ： 有限か？
        • isinf ： 無限か？
        • isnan ： NaN か？
        • ldexp ： m * (2 ** e)
        • lgamma ： ガンマ関数の値の絶対値をとり，その自然対数
        • log ： 対数関数
        • log1p ： 1+x の自然対数
        • log10 ： 常用対数
        • log2 ： 2 を底とする x の対数
        • modf ： 小数部分と整数部分
        • pow ： べき乗
        • radians ： 度からラジアンに変換
        • sin ： 正弦
        • sinh ： 双曲線正弦
        • sqrt ： 平方根
        • tan ： 正接
        • tanh ： 双曲線正接
        • trunc ： 小数点以下を切り捨て

    • 定数

      • math.pi ： 円周率
      • math.e ： 自然対数の底
      • math.inf ： 浮動小数の正の無限大
      • math.nan ： 浮動小数の非数 “not a number” (NaN)

    • math.acos(x)

      　　 x の逆余弦をラジアンで返す（ -π/2 ～ π/2 ） 
      >>> from math import *
>>> degrees(acos(0.5))
60.00000000000001

    • math.acosh(x)

      　　x の逆双曲線余弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> acosh(1.0)
0.0
>>> cosh(0.0)
1.0

    • math.asin(x)

      　　 x の逆正弦をラジアンで返す（ -π/2 ～ π/2 ） 
      >>> from math import *
>>> degrees(asin(0.5))
30.000000000000004

    • math.asinh(x)

      　　x の逆双曲線正弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> asinh(1.0)
0.8813735870195429
>>> sinh(0.8813735870195429)
0.9999999999999999

    • math.atan(x)

      　　 x の逆正接をラジアンで返す（ -π/2 ～ π/2 ） 
      >>> from math import *
>>> degrees(atan(1.0))
45.0

    • math.atan2(y, x)

      　　 y / x の逆正接をラジアンで返す（ -π ～ π ） 
      >>> from math import *
>>> degrees(atan(-1.0 / -1.0))
45.0
>>> degrees(atan2(-1.0, -1.0))
-135.0
>>> degrees(atan2(1.0, 0.0))
90.0

    • math.atanh(x)

      　　 x の逆双曲線正弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> atanh(0.1)
0.1003353477310756
>>> tanh(0.1003353477310756)
0.10000000000000002

    • math.ceil(x)

      　　x 以上の最小の整数を返す（天井関数）． 
      >>> from math import *
>>> ceil(3.14)
4
>>> ceil(-3.14)
-3

    • math.copysign(x, y)

      　　 絶対値が x で，符号が y と同じ浮動小数点数を返す． 
      >>> from math import *
>>> copysign(3.14, -2.0)
-3.14

    • math.cos(x)

      　　x ラジアンの余弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> cos(radians(60.0))
0.5000000000000001

    • math.cosh(x)

      　　x の双曲線余弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> acosh(1.0)
0.0
>>> cosh(0.0)
1.0

    • math.degrees(x)

      　　角 x をラジアンから度に変換する． 
      >>> from math import *
>>> x = radians(45.0)
>>> x
0.7853981633974483
>>> degrees(x)
45.0

    • math.erf(x)

      　　x に対する誤差関数の値を返す． 
      >>> from math import *
>>> erf(0.5)
0.5204998778130465
>>> erfc(0.5)
0.4795001221869535
>>> 1.0 - erf(0.5)
0.4795001221869535

    • math.erfc(x)

      　　x に対する相補誤差関数の値を返す．相補誤差関数は，1.0 - erf(x) と定義される． 
      >>> from math import *
>>> erf(0.5)
0.5204998778130465
>>> erfc(0.5)
0.4795001221869535
>>> 1.0 - erf(0.5)
0.4795001221869535

    • math.exp(x)

      　　e**x を返す． 
      >>> from math import *
>>> x = exp(-0.1)
>>> x
0.9048374180359595
>>> log(x)
-0.10000000000000006

    • math.expm1(x)

      　　e**x - 1 を返す． 
      >>> from math import *
>>> exp(0.00001) - 1.0
1.0000050000069649e-05
>>> expm1(0.00001)
1.0000050000166667e-05

    • math.fabs(x)

      　　x の絶対値を返す 
      >>> from math import *
>>> fabs(-4.6)
4.6

    • math.factorial(x)

      　　正の整数 x の階乗 x! を返す． 
      >>> from math import *
>>> factorial(5)
120

    • math.floor(x)

      　　x 以下の最大の整数を返す（床関数）． 
      >>> from math import *
>>> floor(3.4)
3
>>> floor(-3.4)
-4

    • math.fmod(x, y)

      　　x を y で割った余りを返す． 
      >>> from math import *
>>> fmod(4.5, 2.1)
0.2999999999999998

    • math.frexp(x)

      　　x の仮数と指数を ( m, e ) のペアとして返す．x は，m * (2 ** e) で表される． 
      >>> from math import *
>>> frexp(0.00123)
(0.62976, -9)
>>> 0.62976 * pow(2, -9)
0.00123
>>> ldexp(0.62976, -9)
0.00123

    • math.fsum(iterable)

      　　iterable 中の浮動小数点数の正確な和を返す． 
      >>> from math import *
>>> fsum([1.2, 3.4, 0.001])
4.601

    • math.gamma(x)

      　　x に対するガンマ関数の値を返す． 
      >>> from math import *
>>> gamma(5)
24.0
>>> lgamma(5)
3.178053830347945
>>> log(24.0)
3.1780538303479458

    • math.gcd(a, b)

      　　整数 a と b の最大公約数を返す． 
      >>> from math import *
>>> gcd(6, 15)
3

    • math.hypot(x, y)

      　　原点から，点 (x, y) までの距離（ユークリッドノルム，sqrt(x*x + y*y ）を返す． 
      >>> from math import *
>>> hypot(1.0, 2.0)
2.23606797749979

    • math.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

      　　値 a と b が互いに近い場合 True を，そうでない場合は False を返す．近さの判定は，相対許容誤差 rel_tol，または，絶対許容誤差 abs_tol によって行われる．なお，許容誤差に対する引数は，キーワード引数でなければならない． 
      >>> from math import *
>>> isclose(0.001, 0.001001, rel_tol=1e-3)
True
>>> isclose(0.001, 0.001001, rel_tol=0.0, abs_tol=0.001)
True

    • math.isfinite(x)

      　　x が無限でも NaN でもない場合に True を返す． 
      >>> from math import *
>>> isfinite(inf)
False

    • math.isinf(x)

      　　 x が正または負の無限数ならば True を返す． 
      >>> from math import *
>>> isinf(inf)
True

    • math.isnan(x)

      　　x が NaN （非数）の時に True を返す． 
      >>> from math import *
>>> isnan(nan)
True

    • math.ldexp(m, e)

      　　m * (2 ** e) で表される数値を返す． 
      >>> from math import *
>>> frexp(0.00123)
(0.62976, -9)
>>> 0.62976 * pow(2, -9)
0.00123
>>> ldexp(0.62976, -9)
0.00123

    • math.lgamma(x)

      　　x に対するガンマ関数の値の絶対値をとり，その自然対数を返す． 
      >>> from math import *
>>> gamma(5)
24.0
>>> lgamma(5)
3.178053830347945
>>> log(24.0)
3.1780538303479458

    • math.log(x[, base])

      　　base を底とする x の対数を返す．base を省略すると e とみなされる． 
      >>> from math import *
>>> x = exp(-0.1)
>>> x
0.9048374180359595
>>> log(x)
-0.10000000000000006

    • math.log1p(x)

      　　1+x の自然対数を返す． 
      >>> from math import *
>>> log1p(0.00001)
9.99995000033333e-06
>>> log(1 + 0.00001)
9.999950000398841e-06

    • math.log10(x)

      　　10 を底とする x の対数（常用対数）を返す．一般に log(x, 10) よりも高精度である．

    • math.log2(x)

      　　2 を底とする x の対数を返す．一般に log(x, 2) よりも高精度である．

    • math.modf(x)

      　　x の小数部分と整数部分を返す． 
      >>> from math import *
>>> modf(-3.14)
(-0.14000000000000012, -3.0)

    • math.pow(x, y)

      　　x の y 乗を返す． 
      >>> from math import *
>>> pow(2.0, 0.5)
1.4142135623730951
>>> 2.0 ** 0.5
1.4142135623730951
>>> sqrt(2.0)
1.4142135623730951

    • math.radians(x)

      　　角 x を度からラジアンに変換する． 
      >>> from math import *
>>> x = radians(45.0)
>>> x
0.7853981633974483
>>> degrees(x)
45.0

    • math.sin(x)

      　　x ラジアンの正弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> sin(radians(30.0))
0.49999999999999994

    • math.sinh(x)

      　　x の双曲線正弦を返す． 
      >>> from math import *
>>> asinh(1.0)
0.8813735870195429
>>> sinh(0.8813735870195429)
0.9999999999999999

    • math.sqrt(x)

      　　x の平方根を返す． 
      >>> from math import *
>>> pow(2.0, 0.5)
1.4142135623730951
>>> 2.0 ** 0.5
1.4142135623730951
>>> sqrt(2.0)
1.4142135623730951

    • math.tan(x)

      　　x ラジアンの正接を返す． 
      >>> from math import *
>>> tan(radians(45.0))
0.9999999999999999

    • math.tanh(x)

      　　 x の双曲線正接を返す． 
      >>> from math import *
>>> atanh(0.1)
0.1003353477310756
>>> tanh(0.1003353477310756)
0.10000000000000002

    • math.trunc(x)

      　　小数点以下を切り捨てた値を返す． 
      >>> from math import *
>>> trunc(3.14)
3

  2. 数学関数（複素数）

    　　Python には，C++ のような関数名のオーバーロード機能（同じ名前の関数であっても，引数の型や個数によって，その引数に適切な関数を呼ぶ機能）がありませんので，例えば，

    from math import *
    from cmath import *

    のような処理を行うと，両者に同じ名前のメソッドが存在するような場合，math モジュール内のメソッドを使用できなくなってしまいますので，気をつけてください．

    　　C++ の標準ライブラリ（ <complex> ヘッダ）内の複素数 に対応します．

        • 定数
        • acos ： 逆余弦
        • acosh ： 逆双曲線余弦
        • asin ： 逆正弦
        • asinh ： 逆双曲線正弦
        • atan ： 逆正接
        • atanh ： 逆双曲線正接
        • cos ： 余弦
        • cosh ： 双曲線余弦
        • exp ： 指数関数
        • isclose ： 近傍か？
        • isfinite ： 有限か？
        • isinf ： 無限か？
        • isnan ： NaN か？
        • log ： 対数関数
        • log10 ： 常用対数
        • phase ： 位相
        • polar ： 極座標表現に変換
        • rect ： 極座標から直交座標
        • sin ： 正弦
        • sinh ： 双曲線正弦
        • sqrt ： 平方根
        • tan ： 正接
        • tanh ： 双曲線正接

    • 定数

      • cmath.pi ： 円周率
      • cmath.e ： 自然対数の底

    • cmath.acos(x)

      　　複素数 x の逆余弦を返す．（参考 ： sin(x) = ( exp(jx) - exp(-jx) ) / 2j, cos(x) = ( exp(jx) + exp(-jx) ) / 2 ） 
      >>> from cmath import *
>>> cos(1 + 1j)
(0.8337300251311491-0.9888977057628651j)
>>> acos(0.8337300251311491-0.9888977057628651j)
(0.9999999999999999+1j)

    • cmath.acosh(x)

      　　複素数 x の逆双曲線余弦を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> cosh(1 + 1j)
(0.8337300251311491+0.9888977057628651j)
>>> acosh(0.8337300251311491+0.9888977057628651j)
(1+0.9999999999999999j)

    • cmath.asin(x)

      　　複素数 x の逆正弦を返す．（参考 ： sin(x) = ( exp(jx) - exp(-jx) ) / 2j, cos(x) = ( exp(jx) + exp(-jx) ) / 2 ） 
      >>> from cmath import *
>>> sin(1 + 1j)
(1.2984575814159773+0.6349639147847361j)
>>> asin(1.2984575814159773+0.6349639147847361j)
(1+1j)

    • cmath.asinh(x)

      　　複素数 x の逆双曲線正弦を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> sinh(1 + 1j)
(0.6349639147847361+1.2984575814159773j)
>>> asinh(0.6349639147847361+1.2984575814159773j)
(1+1j)

    • cmath.atan(x)

      　　複素数 x の逆正接を返す．（参考 ： sin(x) = ( exp(jx) - exp(-jx) ) / 2j, cos(x) = ( exp(jx) + exp(-jx) ) / 2 ） 
      >>> from cmath import *
>>> tan(1 + 1j)
(0.2717525853195117+1.0839233273386946j)
>>> atan(0.2717525853195117+1.0839233273386946j)
(1+1j)

    • cmath.atanh(x)

      　　複素数 x の逆双曲線正接を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> tanh(1 + 1j)
(1.0839233273386946+0.2717525853195117j)
>>> atanh(1.0839233273386946+0.2717525853195117j)
(1+1j)

    • cmath.cos(x)

      　　複素数 x の余弦を返す．（参考 ： sin(x) = ( exp(jx) - exp(-jx) ) / 2j, cos(x) = ( exp(jx) + exp(-jx) ) / 2 ） 
      >>> from cmath import *
>>> cos(1 + 1j)
(0.8337300251311491-0.9888977057628651j)
>>> acos(0.8337300251311491-0.9888977057628651j)
(0.9999999999999999+1j)

    • cmath.cosh(x)

      　　複素数 x の双曲線余弦を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> cosh(1 + 1j)
(0.8337300251311491+0.9888977057628651j)
>>> acosh(0.8337300251311491+0.9888977057628651j)
(1+0.9999999999999999j)

    • cmath.exp(x)

      　　複素数 x に対して，e**x を返す（オイラーの公式 ： exp(jθ) = cos(θ) + j sin(θ) ）． 
      >>> from cmath import *
>>> exp(complex(0, pi / 2))
(6.123233995736766e-17+1j)

    • cmath.isclose(a, b, *, rel_tol=1e-09, abs_tol=0.0)

      　　複素数 a と b が互いに近い場合 True を，そうでない場合は False を返す．近さの判定は，相対許容誤差 rel_tol，または，絶対許容誤差 abs_tol によって行われる．なお，許容誤差に対する引数は，キーワード引数でなければならない． 
      >>> from cmath import *
>>> isclose(1+1j, 1+1.0001j, rel_tol=0.001)
True

    • cmath.isfinite(x)

      　　 複素数 x の実部，虚部ともに有限であれば True を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> isfinite(inf + 1j)
False

    • cmath.isinf(x)

      　　 複素数 x の実部または虚部が正または負の無限大であれば True を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> isinf(inf + 1j)
True

    • cmath.isnan(x)

      　　複素数 x の実部と虚部のどちらかが NaN のとき True を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> isnan(nan + 1j)
True

    • cmath.log(x[, base])

      　　base を底とする複素数 x の対数を返す．base を省略すると e とみなされる．（参考 ： log(x) = log|x| + j∠x ） 
      >>> from cmath import *
>>> log(1 + 1j)
(0.34657359027997264+0.7853981633974483j)

    • cmath.log10(x)

      　　10 を底とする複素数 x の対数（常用対数）を返す．（参考 ： log(x) = log|x| + j∠x ） 
      >>> from cmath import *
>>> log10(1 + 1j)
(0.15051499783199057+0.3410940884604603j)

    • cmath.phase(x)

      　　複素数 x の位相をラジアンで返す． 
      >>> from cmath import *
>>> degrees(phase(complex(1.0, 1.0)))
45.0

    • cmath.polar(x)

      　　複素数 x の大きさと位相の組 (r, phi)，つまり，極座標表現を返す．なお，位相はラジアン表現である． 
      >>> from cmath import *
>>> polar(complex(1.0, 1.0))
(1.4142135623730951, 0.7853981633974483)

    • cmath.rect(r, phi)

      　　極座標 (r, phi) を持つ複素数 x を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> import math
>>> rect(math.sqrt(2.0), radians(45.0))
(1.0000000000000002+1j)

    • cmath.sin(x)

      　　複素数 x の正弦を返す．（参考 ： sin(x) = ( exp(jx) - exp(-jx) ) / 2j, cos(x) = ( exp(jx) + exp(-jx) ) / 2 ） 
      >>> from cmath import *
>>> sin(1 + 1j)
(1.2984575814159773+0.6349639147847361j)
>>> asin(1.2984575814159773+0.6349639147847361j)
(1+1j)

    • cmath.sinh(x)

      　　複素数 x の双曲線正弦を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> sinh(1 + 1j)
(0.6349639147847361+1.2984575814159773j)
>>> asinh(0.6349639147847361+1.2984575814159773j)
(1+1j)

    • cmath.sqrt(x)

      　　複素数 x の平方根を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> sqrt(1 + 1j)
(1.09868411346781+0.45508986056222733j)

    • cmath.tan(x)

      　　複素数 x の正接を返す．（参考 ： sin(x) = ( exp(jx) - exp(-jx) ) / 2j, cos(x) = ( exp(jx) + exp(-jx) ) / 2 ） 
      >>> from cmath import *
>>> tan(1 + 1j)
(0.2717525853195117+1.0839233273386946j)
>>> atan(0.2717525853195117+1.0839233273386946j)
(1+1j)

    • cmath.tanh(x)

      　　複素数 x の双曲線正接を返す． 
      >>> from cmath import *
>>> tanh(1 + 1j)
(1.0839233273386946+0.2717525853195117j)
>>> atanh(1.0839233273386946+0.2717525853195117j)(1+1j)

  3. 疑似乱数

    　　C++ の標準ライブラリ（ <random> ヘッダ）内のメルセンヌ・ツイスター法による擬似乱数生成エンジン，ベルヌーイ分布乱数，二項分布乱数，幾何分布乱数，負の二項分布乱数，一様分布乱数，ポワソン分布乱数，指数分布乱数，ガンマ分布乱数，ワイブル分布乱数，極値分布乱数，正規分布乱数，対数正規分布乱数，カイ二乗分布乱数，コーシー分布乱数，フィッシャーの F 分布乱数，ステューデントの t 分布，確率分布生成器，重み付き確率分布生成器，線形重み付き確率分布生成器に対応します．

        • betavariate ： ベータ分布に従う乱数
        • choice ： シーケンス seq からランダムに要素を選択
        • expovariate ： 指数分布に従う乱数
        • gammavariate ： ガンマ分布に従う乱数
        • gauss ： ガウス分布（正規分布）に従う乱数
        • getrandbits ： k 桁の乱数ビットで整数を生成
        • getstate ： 乱数生成器の現在の内部状態を記憶
        • lognormvariate ： 対数正規分布に従う乱数
        • normalvariate ： ガウス分布（正規分布）に従う乱数
        • paretovariate ： パレート分布に従う乱数
        • randint ： a <= N <= b であるようなランダムな整数 N
        • random ： [0.0, 1.0) 区間の一様分布に従う乱数
        • randrange ： range(start, stop, step) からランダムに選ばれた要素
        • sample ： ランダムに選ばれた，長さ k の一意な要素からなるリスト
        • seed ： 乱数生成器を初期化
        • setstate ： 乱数生成器の内部状態を復帰
        • shuffle ： シーケンス x をシャッフル
        • triangular ： [low, high] 区間に最頻値 mode を持つような乱数
        • uniform ： [a, b]，または，[b, a] 区間の一様分布に従う乱数
        • vonmisesvariate ： フォン・ミーゼス分布に従う乱数
        • weibullvariate ： ワイブル分布に従う乱数

    • random.betavariate ( alpha, beta )

      　　母数 alpha（α），beta（β） のベータ分布に従う乱数を返す．alpha > 0，beta > 0 でなければならず，0 から 1 の範囲に入る値を返す． 
      >>> from random import *
>>> betavariate(1.0, 2.0)
0.7137512751672623

    • random.choice ( seq )

      　　シーケンス seq からランダムに要素を返す． 
      >>> from random import *
>>> choice([1, 2, 3, 4, 5])
4
>>> choice([1, 2, 3, 4, 5])
3

    • random.expovariate ( lambda )

      　　母数 lambda（λ．1/λ が平均）の指数分布に従う乱数を返す．lambda が正であれば，0 から正の無限大，また，lambda が負であれば，負の無限大から 0 までの値を返す． 
      >>> from random import *
>>> expovariate(2.0)   # 2.0 は平均値の逆数（λ）
0.3687274660201018

    • random.gammavariate ( alpha, beta )

      　　母数 alpha（α），beta（β）のガンマ分布に従う乱数を返す．alpha > 0，beta > 0 でなければならない． 
      >>> from random import *
>>> gammavariate(1.0, 2.0)
1.4556376656902985

    • random.gauss ( mu, sigma )

      　　平均 mu（μ），標準偏差 sigma（σ）のガウス分布（正規分布）に従う乱数を返す．sigma > 0 でなければならない． 
      >>> from random import *
>>> gauss(0, 1.0)   # 標準正規分布
0.6178997336284542

    • random.getrandbits ( k )

      　　k 桁の乱数ビットで整数を生成して返す． 
      >>> from random import *
>>> getrandbits(20)
54907

    • random.getstate ( )

      　　乱数生成器の現在の内部状態を記憶したオブジェクトを返す．このオブジェクトを setstate() に渡して内部状態を復帰することができる．

    • random.lognormvariate ( mu, sigma )

      　　母数 mu（μ），sigma（σ）の対数正規分布に従う乱数を返す．この分布を自然対数を用いた分布にした場合，平均 mu（μ），標準偏差 sigma（σ）のガウス分布（正規分布）になる．sigma > 0 でなければならない． 
      >>> from random import *
>>> lognormvariate(0, 1.0)
16.76806615681981

    • random.normalvariate ( mu, sigma )

      　　平均 mu（μ），標準偏差 sigma（σ）のガウス分布（正規分布）に従う乱数を返す．sigma > 0 でなければならない． 
      >>> from random import *
>>> normalvariate(0, 1.0)
0.44329264392416573

    • random.paretovariate ( alpha )

      　　母数 alpha（α）のパレート分布に従う乱数を返す．alpha は形状パラメタであり，alpha > 0 でなければならない． 
      >>> from random import *
>>> paretovariate(1.0)
6.006394708695113

    • random.randint ( a, b )

      　　a <= N <= b であるようなランダムな整数 N を返す．randrange(a, b+1) のエイリアスである．

    • random.random()

      　　 [0.0, 1.0) 区間の一様分布に従う乱数を返す． 
      >>> from random import *
>>> random()
0.8786303371012171

    • random.randrange ( stop )
      random.randrange(start, stop[, step])

      　　range(start, stop, step) からランダムに選ばれた要素を返す． 
      >>> from random import *
>>> randrange(100)
34
>>> randrange(100)
11

    • random.sample ( population, k )

      　　母集団のシーケンスまたは集合 population からランダムに選ばれた，長さ k の一意な要素からなるリストを返す． 
      >>> from random import *
>>> sample(range(100), 5)
[20, 0, 55, 99, 11]

    • random.seed ( a = None, version = 2 )

      　　乱数生成器を初期化する．a が省略されるか None の場合，現在のシステム時刻が使用される．

    • random.setstate ( state )

      　　予め getstate() によって呼び出した state を使用し，呼び出された時の乱数生成器の内部状態を復帰する．

    • random.shuffle ( x[, random ] )

      　　シーケンス x をシャッフルする．random は，引数を持たず [0.0, 1.0) 区間のランダムな浮動小数点数を返すような関数である．省略すると，random() が使用される． 
      >>> from random import *
>>> x = [1, 2, 3, 4, 5]
>>> shuffle(x)
>>> x
[2, 1, 4, 5, 3]

    • random.triangular ( [ low, high[, mode ] ] )

      　　[low, high] 区間に最頻値 mode を持つような乱数を返す．low と high のデフォルトは 0 と 1 であり，mode のデフォルトは両境界値の中点になる． 
      >>> from random import *
>>> triangular(5, 10)
8.919537010144266
>>> triangular()
0.3819695793057113

    • random.uniform ( a, b )

      　　[a, b]，または，[b, a] 区間の一様分布に従う乱数を返す． 
      >>> from random import *
>>> uniform(0, 2)
1.4640785075474039

    • random.vonmisesvariate ( mu, kappa )

      　　母数 mu（μ），kappa（κ）のフォン・ミーゼス分布に従う乱数を返す．mu は平均の角度であり，0 から 2*π までのラジアンで表され，kappa は濃度パラメタであり，0 以上でなければならない． 
      >>> from random import *
>>> vonmisesvariate(pi, 1.0)
4.14502416163938

    • random.weibullvariate ( eata, m )

      　　母数 eata（η），m のワイブル分布に従う乱数を返す．eata は尺度パラメータ，m は形状パラメータ（ワイブル係数）である．いずれのパラメータも正である必要がある． 
      >>> from random import *
>>> weibullvariate(1.0, 5.0)
0.8853138662142248

  4. 数理統計関数

    • statistics.mean ( data )

      　　data の算術平均を返す． 
      >>> from statistics import *
>>> mean([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
3.25

    • statistics.median ( data )

      　　data の中央値を返す．データ数が偶数の場合は，中央に最も近い 2 値の算術平均を返す． 
      >>> from statistics import *
>>> median([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
3.5

    • statistics.median_grouped ( data, interval = 1 )

      　　data の中央値を返す．中央値は，50 パーセンタイルとして計算され，小数部分があれば補間される．interval は間隔を表す．なお，パーセンタイルとは，データを小さい順に並べたとき，どこに位置するのかを示す指標である．例えば，p パーセンタイルであれば，データを小さい順に並べたとき，小さいデータから数えて全データ数の p ％に相当する位置となる． 
      >>> from statistics import *
>>> median_grouped([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
3.5
>>> median_grouped([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5], 4)
2.0

    • statistics.median_high ( data )

      　　data の中央値を返す．データ数が奇数の場合は中央の値を返し，偶数の場合は中央の 2 値の大きい方を返す． 
      >>> from statistics import *
>>> median_high([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
4

    • statistics.median_low ( data )

      　　data の中央値を返す．データ数が奇数の場合は中央の値を返し，偶数の場合は中央の 2 値の小さい方を返す． 
      >>> from statistics import *
>>> median_low([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
3

    • statistics.mode ( data )

      　　data の最頻値を返す． 
      >>> from statistics import *
>>> mode([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
4

    • statistics.pstdev( data, mu = None )

      　　data の標準偏差（分散の平方根）を返す．mu は data の平均値でなければならない．mu が与えられない場合や None の場合，平均値は data を使用して自動的に計算される． 
      >>> from statistics import *
>>> pvariance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.4375
>>> pstdev([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.1989578808281798
>>> math.sqrt(pvariance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5]))
1.1989578808281798

    • statistics.pvariance ( data, mu = None )

      　　data の分散（不偏分散ではない）を返す．mu は data の平均値でなければならない．mu が与えられない場合や None の場合，平均値は data を使用して自動的に計算される． 
      >>> from statistics import *
>>> pvariance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.4375
>>> variance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.6428571428571428

    • statistics.stdev ( data, mu = None )

      　　data の標準偏差（不偏分散の平方根）を返す．mu は data の平均値でなければならない．mu が与えられない場合や None の場合，平均値は data を使用して自動的に計算される． 
      >>> from statistics import *
>>> variance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.6428571428571428
>>> stdev([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.2817398889233114
>>> math.sqrt(variance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5]))
1.2817398889233114

    • statistics.variance ( data, mu = None )

      　　data の不偏分散を返す．mu は data の平均値でなければならない．mu が与えられない場合や None の場合，平均値は data を使用して自動的に計算される． 
      >>> from statistics import *
>>> pvariance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.4375
>>> variance([1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5])
1.6428571428571428

  5. 有理数

        • denominator ： 有理数を既約分数で表したときの分母
        • Fraction ： fraction オブジェクトの生成
        • from_decimal ： fraction オブジェクトの生成
        • from_float ： fraction オブジェクトの生成
        • limit_denominator ： fraction オブジェクトの生成
        • numerator ： 有理数を既約分数で表したときの分子

    • fractions.denominator　：　fraction モジュールのインスタンス変数

      　　有理数を既約分数で表したときの分母 
      >>> from fractions import Fraction
>>> x = Fraction(0.75)
>>> x.numerator
3
>>> x.denominator
4

    • class fractions.Fraction ( numerator = 0, denominator = 1 )
      class fractions.Fraction ( other_fraction )
      class fractions.Fraction ( float )
      class fractions.Fraction ( decimal )
      class fractions.Fraction ( string )

      　　fraction オブジェクトを生成する． 
      >>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(numerator=3, denominator=4)
Fraction(3, 4)
>>> Fraction(0.75)
Fraction(3, 4)
>>> Fraction(1.75)
Fraction(7, 4)
>>> Fraction(0.73)
Fraction(1643813863990231, 2251799813685248)
>>> Fraction(2)
Fraction(2, 1)
>>> Fraction(0)
Fraction(0, 1)
>>> Fraction()
Fraction(0, 1)
>>> Fraction("3/4")   # '/' の前後にスペースを入れてはいけない
Fraction(3, 4)
>>> Fraction("0.75")
Fraction(3, 4)

    • Fraction.from_decimal ( dec )　：　クラスメソッド

      　　decimal.Decimal のインスタンスである dec の正確な値を表す fraction オブジェクトを生成する． 
      >>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(3,10)
Fraction(3, 10)
>>> Fraction.from_float(0.3)
Fraction(5404319552844595, 18014398509481984)
>>> from decimal import Decimal
>>> Fraction.from_decimal(Decimal("0.3"))
Fraction(3, 10)

    • Fraction.from_float ( flt )　：　クラスメソッド

      　　float である flt の正確な値を表す fraction オブジェクトを生成する． 
      >>> from fractions import Fraction
>>> Fraction(3,10)
Fraction(3, 10)
>>> Fraction.from_float(0.3)
Fraction(5404319552844595, 18014398509481984)
>>> from decimal import Decimal
>>> Fraction.from_decimal(Decimal("0.3"))
Fraction(3, 10)

    • fractions.limit_denominator ( max_denominator = 1000000 )　：　インスタンスメソッド

      　　分母が高々 max_denominator である self に最も近い fraction オブジェクトを返す． 
      >>> from fractions import Fraction
>>> x = Fraction(0.3)
>>> x.limit_denominator(20)
Fraction(3, 10)

    • fractions.numerator　：　fraction モジュールのインスタンス変数

      　　有理数を既約分数で表したときの分子 
      >>> from fractions import Fraction
>>> x = Fraction(0.75)
>>> x.numerator
3
>>> x.denominator
4

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