予測

　　時系列データから先のデータを予測する方法の内，最も簡単な方法は，過去のデータの平均値を使用する方法です．平均値を利用する方法としては，以下のような方法があります．なお，以下の説明において，d_i を過去，または，新しく得られたデータ，D_i を予測値とします．

単純平均法

　　過去のデータ，

d_i　　i = 1, 2, ･･･, n

の平均値，

D = Σ d_i / n

によって，予測する方法です．
移動平均法

　　時間の経過と共に，平均の対象とするデータを徐々に変更していく方法です．例えば，3 つのデータを平均する場合は，以下のようになります．
```
d₁, d₂, d₃　→　D₄ = (d₁ + d₂ + d₃) / 3
d₂, d₃, d₄　→　D₅ = (d₂ + d₃ + d₄) / 3
　　・・・・・			
```
簡易指数平均法

　　時間の経過と共に，対象とするデータに重みを付けて平均を取っていく方法です．具体的には，以下の式に従って，予測値を計算します．

新予測値 = α (新しいデータ) + (1 - α) (旧予測値)

例えば，以下のようにして計算します．
```
D₁ = d₁
D₂ = α d₂ + (1 - α) D₁
D₃ = α d₃ + (1 - α) D₂
　　・・・・・			
```
α の値としては，最初，0.3 前後を使用し，落ち着いた時点で再設定をするという方法が良く使用されます．

２．最小 2 乗法による予測

直線のあてはめ

　　過去のデータ，

x₁　y₁

x₂　y₂

　・・・

x_n　y_n

から，これらのデータに最も合う直線，

y = ax + b　　　(1)

を求め，得られた直線から予測を行う方法です（この直線を，回帰直線と呼びます）．直線を決めるために，最小 2 乗法が使用されます．最小 2 乗法は，誤差の 2 乗の和，
```
s = Σ (y_i - ax_i - b)²
　= [y - Az]^T[y - Az]　(2)			
```
ただし，
```
y = [y₁ y₂ ･･･ y_n]^T
z = [a b]^T
			
```
を最小にするように，(1) 式の a, b を決定する方法です．具体的には，(2) 式を z で微分し，0 と置くことによって，以下の結果が得られます．
```
∂s/∂z = -2A^T[y - Az] = 0　　　∴ z = [A^TA]^-1A^Ty			
```
　　例えば，データ，
```
    0  2.450
    1  2.615
    2  3.276
    3  3.294
    4  3.778
    5  4.009
    6  3.920
    7  4.267
    8  4.805
    9  5.656
			
```
を使用すると，以下に示すような結果が得られます．
```
y = 0.310594 x + 2.409327			
```
2 次曲線のあてはめ

　　直線の当てはめと同様にして，与えられたデータに最も合う 2 次曲線，
```
y = a x² + b x + c			
```
を使用して予測を行うこともできます．
```
y = [y₁ y₂ ･･･ y_n]^T
z = [a b c]^T
			
```
と置けば，先の場合と全く同様にして，以下の式で各係数を計算することができます．
```
z = [A^TA]^-1A^Ty			
```
　　例えば，データ，
```
10  28.2
15  47.0
20  44.4
26  32.8
32  20.8
40   0.8			
```
を使用すると，以下に示すような結果が得られます．
```
y = -0.097596 x² + 3.701743 x + 6.245642
```